Xếp vật tròn trong thùng: hàng thẳng hay so le thì vào được nhiều hơn

Xếp vật tròn cùng cỡ (lon, chai, cuộn giấy dựng đứng) theo hàng thẳng ô vuông thì phủ được khoảng 78,5% mặt đáy; xếp so le kiểu tổ ong (lục giác) thì phủ được khoảng 90,7%, nhiều hơn chừng 15%. Nhưng đó là con số trên mặt phẳng rộng vô tận. Trong một thùng nhỏ vừa khít, xếp so le có thể vào ít hơn xếp thẳng, vì hàng so le bị hụt mất một vật ở mỗi hàng lẻ. Thùng càng lớn, hoặc bề ngang càng dư nửa đường kính, xếp so le càng lời.

Vì sao xếp so le chặt hơn xếp hàng thẳng?

Hãy nhìn từ trên xuống một đáy thùng có các lon đứng. Mỗi lon là một hình tròn.

• Hàng thẳng ô vuông: mỗi lon nằm gọn trong một ô vuông có cạnh bằng đường kính. Ở bốn góc ô vuông là bốn mảnh trống hình "tam giác cong". Tỉ lệ phủ là diện tích hình tròn chia diện tích ô vuông, bằng π/4, tức khoảng 78,5%.
• So le lục giác: hàng sau lùi nửa đường kính và hạ thấp xuống, mỗi lon nép vào khe giữa hai lon hàng trước. Mỗi lon chạm sáu lon xung quanh, khoảng trống giữa ba lon kề nhau nhỏ hơn hẳn. Tỉ lệ phủ là π chia (2√3), khoảng 90,7%.

Mấu chốt nằm ở khoảng cách giữa các hàng. Xếp thẳng thì hai hàng cách nhau đúng một đường kính. Xếp so le thì chỉ cách nhau khoảng 0,866 đường kính (bằng √3 chia 2), vì lon hàng sau thụt vào khe. Mỗi hàng tiết kiệm được hơn 13% chiều dài, cộng dồn lại thành phần lợi lớn.

Đã có chứng minh nào là cách tốt nhất chưa?

Rồi. Joseph-Louis Lagrange chứng minh năm 1773 rằng trong các cách xếp theo mạng lưới đều, lục giác là tốt nhất. Axel Thue đưa ra chứng minh cho mọi cách xếp vào khoảng 1890 và 1910, và László Fejes Tóth hoàn thiện một chứng minh chặt chẽ năm 1940. Trên mặt phẳng, không có cách nào xếp hình tròn cùng cỡ dày hơn khoảng 90,7%.

Trong thùng nhỏ, xếp hàng thẳng hay so le vào được nhiều hơn?

Đây là chỗ con số "90,7%" hay làm người ta hiểu nhầm. Trong thùng có thành, hai điều làm thay đổi kết quả:

1. Hàng so le bị hụt. Nếu bề ngang thùng vừa đúng n đường kính, hàng lùi nửa đường kính chỉ còn chứa được n − 1 vật.
2. Phần lợi chiều dài phải đủ lớn mới bù được chỗ hụt đó. Mỗi hàng chỉ tiết kiệm 0,134 đường kính; phải nhiều hàng mới gom đủ chỗ cho thêm một hàng mới.

Bảng dưới tính cho vật tròn đường kính bằng 1 đơn vị, đáy thùng có kích thước ghi theo đơn vị đó. Số so le đã lấy theo chiều xếp có lợi hơn.

Cách tính cho thùng 10 × 10 khi xếp so le: hàng đầu chiếm 1 đơn vị, mỗi hàng sau chỉ thêm 0,866. Chiều dài 10 chứa được 1 + 10 hàng nữa (vì 10 × 0,866 = 8,66, cộng 1 là 9,66, còn dưới 10), tức 11 hàng. Hàng lẻ có 10 lon, hàng chẵn hụt còn 9: 6 × 10 + 5 × 9 = 105. Nếu bề ngang dư thêm nửa đường kính (10,5), hàng nào cũng đủ 10: 11 × 10 = 110.

Đó là lý do thùng lon, khay chai bán sẵn thường xếp hàng thẳng: thùng 24 lon xếp 4 × 6 vừa khít nhất cho số lượng nhỏ, lại dễ đếm, dễ chia vách, dễ chồng thùng. Xếp so le chỉ thật sự đáng khi số lượng lớn và có thể chọn kích thước thùng.

Lon, chai, cuộn giấy trong thùng thì nên xếp ra sao?

Lon và hộp tròn dựng đứng

Lon đồ uống cỡ thường có đường kính khoảng 6,6 cm. Đáy thùng 26,4 × 39,6 cm vừa đúng 4 × 6 lon, xếp thẳng được 24 lon một tầng. Nếu đổ vào thùng các tông rộng hơn chừng nửa lon, thử xếp so le: bắt đầu hàng đầu sát thành trái, hàng hai sát thành phải, cứ thế luân phiên. Nhiều khi vào thêm được một hai hàng.

Chai nằm ngang

Chai có cổ hẹp, thân to. Khi xếp nằm, đặt đầu đuôi xen kẽ: chai này cổ quay ra, chai kế cổ quay vào. Phần cổ hẹp của chai này nằm cạnh phần thân của chai kia, hai chai nép sát nhau hơn. Kệ rượu, thùng chai thuỷ tinh hay xếp theo kiểu này. Lớp trên đặt vào rãnh giữa hai chai lớp dưới, cũng là kiểu so le trong mặt cắt ngang. Chai thuỷ tinh xếp nằm cần chèn chặn hai đầu để không lăn.

Cuộn giấy, cuộn chỉ, ống nhựa

Ống tròn dài xếp nằm trong thùng nhìn từ đầu thùng chính là bài toán hình tròn trên mặt phẳng. Ống nhiều thì xếp so le kiểu chồng củi: lớp trên nằm vào khe lớp dưới, vừa chặt vừa không lăn. Ít ống thì xếp thẳng cho dễ rút từng ống ra.

Hộp tròn khác cỡ

Có cả hộp to và hộp nhỏ thì đặt hộp to trước theo kiểu thẳng hay so le, rồi thả hộp nhỏ vào khe. Khe giữa bốn hình tròn xếp ô vuông vừa cho một hình tròn nhỏ đường kính khoảng 0,41 lần hình tròn lớn (bằng √2 trừ 1). Lọ gia vị nhỏ lấp vào khe giữa các hộp tròn to là tận dụng đúng chỗ đó.

Thùng tròn đựng vật tròn thì sao?

Khi thành chứa cũng tròn (xô, nồi, khay tròn), bài toán đổi khác hẳn. Các nhà toán học đã tính sẵn: một hình tròn lớn chứa được tối đa bao nhiêu hình tròn nhỏ cùng cỡ, ứng với tỉ lệ đường kính bao nhiêu. Vài kết quả dễ nhớ:

• Bảy hình tròn nhỏ xếp vừa khít trong một hình tròn lớn có đường kính gấp ba: một ở giữa, sáu xung quanh. Đây là hình bông hoa sáu cánh quen thuộc.
• Với 19 hình tròn, xếp lục giác đều (một giữa, vòng 6, vòng 12) cần hình tròn lớn có đường kính gấp 5. Nhưng cách tốt nhất, được chứng minh năm 1999, chỉ cần khoảng 4,86 lần, nhờ xếp lệch vòng ngoài cho ôm theo đường cong. Xếp đều chưa chắc là xếp khít nhất.
• Ở rìa thùng tròn luôn có những khoảng trống hình lưỡi liềm không tránh được. Thùng tròn càng nhỏ so với vật, phần phí ở rìa càng lớn.

Thực tế: xếp lon vào thùng tròn, cứ đặt một lon giữa rồi vòng sáu lon quanh, rồi vòng tiếp; đến rìa thì lấp khe bằng vật nhỏ hơn.

Sai lầm hay gặp khi xếp vật tròn là gì?

Góc nhìn hôm nay: đếm bằng đồng xu trên bàn

Lấy khoảng ba mươi đồng xu cùng cỡ và một tờ giấy kẻ một khung chữ nhật rộng đúng 4 đồng, dài đúng 6 đồng. Xếp thẳng hàng: vừa 24. Gom lại, xếp so le: dù cố gắng mấy cũng chỉ 22. Giờ vẽ khung rộng 4,5 đồng, dài 6 đồng và thử lại; số so le tăng lên. Tiếp tục với khung 10 × 10 nếu đủ đồng xu. Sau vài lần thử, trực giác "thùng nhỏ xếp thẳng, thùng to xếp so le" tự hình thành.

Ai muốn đi xa hơn có thể tìm đọc về các bài toán "circle packing in a square" và "circle packing in a circle": có những bảng kết quả tối ưu được cập nhật nhiều năm, cho từng số lượng hình tròn, kèm hình vẽ những cách xếp lệch lạc bất ngờ mà lại khít nhất.