Đúng vậy, hạt hơi dẹt hình elip đổ ngẫu nhiên vào hộp xếp chặt hơn hạt tròn. Một thí nghiệm công bố trên tạp chí Science năm 2004 dùng những viên kẹo sô-cô-la bọc đường dạng dẹt đo được mật độ khoảng 68%, trong khi bi tròn cùng cách đổ chỉ đạt khoảng 64%. Bí mật nằm ở chỗ hạt không tròn có thể xoay để chạm nhiều hạt hàng xóm hơn, nên khó "kẹt" sớm với những khe trống lớn.
Thí nghiệm viên kẹo elip năm 2004 đã làm gì?
Một nhóm nghiên cứu ở Mỹ, phần lớn làm việc tại Đại học Princeton, gồm Aleksandar Donev, Paul Chaikin, Salvatore Torquato, Frank Stillinger cùng các cộng sự, muốn trả lời một câu hỏi tưởng như đã cũ: đổ ngẫu nhiên thì hình nào xếp chặt nhất? Trước đó, phần lớn thí nghiệm dùng bi cầu, và con số khoảng 64% gần như thành "hằng số" của xếp ngẫu nhiên.
Họ chọn một vật liệu rẻ, đều cỡ, dễ kiếm: kẹo viên dẹt. Cách đo rất gần với cách làm trong bếp:
- Đổ kẹo vào một bình có thể tích biết trước, lắc cho lắng.
- Đổ nước vào để lấp khoảng trống giữa các viên, đo lượng nước vào được.
- Lấy thể tích bình trừ thể tích nước ra phần do kẹo chiếm.
Kết quả: kẹo dẹt chiếm khoảng 68–69% thể tích. Thêm vào đó, mô phỏng máy tính với hạt ellipsoid (hình elip ba chiều) cho thấy khi các trục lệch nhau vừa phải, mật độ ngẫu nhiên có thể tăng lên tới khoảng 73–74%, gần chạm mức xếp đều chặt nhất của bi tròn. Bài báo có tên tiếng Anh dịch nôm là "Cải thiện mật độ của cách xếp ngẫu nhiên bị kẹt bằng hạt ellipsoid".
Vì sao hạt dẹt lại xếp chặt hơn hạt tròn?
Lý do được giải thích qua khái niệm số tiếp xúc: mỗi hạt chạm bao nhiêu hạt khác khi cả khối đã đứng yên, không xê dịch được nữa (các nhà vật lý gọi trạng thái này là "kẹt").
- Một bi tròn chỉ cần trung bình khoảng 6 điểm tiếp xúc là bị khoá chặt. Bi tròn không có "hướng", xoay tại chỗ không giúp gì, nên nó kẹt khá sớm, để lại khe hở tương đối lớn.
- Một hạt elip có thể xoay để đổi hướng, và mỗi kiểu xoay là thêm một cách nhích vào khe. Muốn khoá hẳn nó, cần nhiều điểm chạm hơn, theo nhóm Donev là gần 10 điểm.
Nhiều điểm chạm hơn nghĩa là các hạt "ôm" nhau sát hơn trước khi cả khối dừng lại, khoảng rỗng ít đi. Có thể hình dung: bi tròn giống người đứng khoanh tay trong đám đông, còn hạt dẹt giống người biết nghiêng vai lách vào chỗ hở.
Có phải càng dẹt càng chặt?
Không. Mật độ tăng nhanh khi hạt lệch tròn một chút, đạt đỉnh ở mức lệch vừa phải, rồi giảm nếu hạt quá dẹt hay quá dài. Hạt quá dẹt như đồng xu dễ dựng nghiêng chồng lên nhau tạo khe; hạt quá dài như que tăm đổ lộn xộn thì đan chéo nhau, để lại rất nhiều khoảng trống. Một bó tăm đổ thẳng vào cốc chiếm ít chỗ, còn tăm rơi tung toé thì xốp hơn hẳn.
Các hình dạng khác xếp chặt tới đâu?
Từ sau năm 2004, nhiều nhóm nghiên cứu đã đo và mô phỏng mật độ của các hình khác nhau. Bảng dưới gom những con số được nhắc nhiều; đó là mức gần đúng, tuỳ cách đổ và cách tính.
| Hình hạt | Đổ ngẫu nhiên, lắc chặt (khoảng) | Xếp đều tốt nhất đã biết (khoảng) |
|---|---|---|
| Cầu tròn cùng cỡ | 64% | 74% (đã chứng minh là tối đa) |
| Hạt elip dẹt kiểu viên kẹo | 68–69% (thí nghiệm) | khoảng 77% (Donev và cộng sự 2004) |
| Ellipsoid lệch vừa phải (mô phỏng) | tới khoảng 73–74% | khoảng 77% |
| Tứ diện đều | cao hơn cầu (mô phỏng) | khoảng 85,6% (các nhóm nghiên cứu, 2010) |
| Lập phương | thấp hơn nhiều so với 100% | 100% (xếp khít không hở) |
Điểm đáng chú ý ở hàng cuối: khối lập phương xếp tay thì kín 100%, nhưng đổ ngẫu nhiên lại để hở nhiều, vì mặt phẳng dễ chống chéo vào nhau. Hình xếp đều chặt nhất chưa chắc là hình đổ ngẫu nhiên chặt nhất. Viên đường cục, viên xúc xắc đổ vào hũ đều cho thấy điều đó.
Năm 2004, cùng nhóm nghiên cứu còn tìm ra một cách xếp đều cho ellipsoid đạt khoảng 77%, vượt mức 74% của bi tròn. Nói cách khác, hạt tròn không phải là hình "dễ xếp" nhất như trực giác vẫn nghĩ.
Điều này có ý nghĩa gì với viên thuốc, hạt giống?
Mật độ xếp của hạt là chuyện thực tế trong nhiều ngành, dù người dùng ít khi để ý:
Viên nén và viên nang
Thuốc viên được đóng vào lọ hoặc vỉ. Viên hình thuôn, hình bầu dục hay dẹt không chỉ dễ nuốt hơn với nhiều người mà còn ảnh hưởng tới số viên trong một lọ cùng cỡ và độ lắc kêu khi cầm. Trong sản xuất, bột thuốc trước khi dập viên cũng là hạt rời: hạt bột xếp chặt đều thì viên nén ra đều khối lượng. Đây là ý nghĩa về đóng gói và sản xuất; chuyện dùng thuốc thì luôn theo hướng dẫn của bác sĩ, dược sĩ.
Hạt giống, nông sản
Một bao hạt giống lúa, ngô, đậu cùng khối lượng có thể chiếm thể tích khác nhau tuỳ hình dạng hạt. Hạt lúa thon dài, hạt đậu xanh gần tròn, hạt ngô dẹt hình nêm. Khi thiết kế bao, silo, máy gieo, người ta cần biết khối lượng thể tích của từng loại hạt, tức một mét khối hạt nặng bao nhiêu, chứ không thể dùng chung một con số.
Vật liệu xây dựng và pin
Trong bê tông, người ta trộn cốt liệu nhiều cỡ để giảm khoảng rỗng. Trong điện cực pin, các hạt bột hoạt chất xếp càng chặt thì càng chứa được nhiều năng lượng trong cùng thể tích. Những nghiên cứu về hình dạng hạt như thí nghiệm viên kẹo cho ngành vật liệu thêm một "núm vặn": ngoài cỡ hạt, có thể chỉnh cả hình dạng.
Tự làm thí nghiệm so hạt tròn và hạt dẹt ở nhà thế nào?
Cần hai cốc thuỷ tinh trong cùng cỡ, một ống đong hoặc cốc đong có vạch, một loại hạt gần tròn (đậu Hà Lan khô, hạt tiêu) và một loại hạt dẹt (đậu lăng, hạt bí). Có thể dùng thêm kẹo viên dẹt.
- Đong đúng 200 ml hạt tròn vào cốc thứ nhất, gõ nhẹ đáy cốc khoảng 30 lần cho lắng, bù thêm hạt cho đầy lại vạch 200 ml.
- Đổ từ từ nước từ ống đong vào cho tới khi nước vừa ngập mặt hạt. Ghi lượng nước đã dùng.
- Làm y hệt với hạt dẹt ở cốc thứ hai.
- Tính phần trăm hạt chiếm: (200 trừ lượng nước) chia 200. Cốc nào cần ít nước hơn, cốc đó xếp chặt hơn.
Vài lưu ý cho số liệu đỡ lệch: làm nhanh để hạt chưa kịp hút nước; dùng hạt khô, không vỡ; lặp lại ba lần lấy trung bình. Hạt đậu thật không đều như bi thép nên kết quả sẽ dao động, nhưng xu hướng thường vẫn hiện ra. Xong thì phơi khô hạt nếu muốn dùng lại; kẹo đã ngâm nước thì bỏ.
Góc nhìn hôm nay: một câu hỏi tưởng cũ vẫn còn mới
Câu chuyện viên kẹo dẹt nhắc rằng những câu hỏi tưởng như ai cũng biết vẫn có thể mở ra hướng nghiên cứu mới. Trước năm 2004, rất ít người nghĩ đổi hình dạng hạt lại thay đổi mật độ ngẫu nhiên nhiều tới thế. Sau đó, một nhánh nghiên cứu lớn về "hạt không cầu" ra đời, từ hạt hình que, hình đĩa tới hình đa diện, với ứng dụng từ dược phẩm tới vật liệu.
Người muốn đọc thêm có thể tìm bài báo gốc của Donev và cộng sự trên Science năm 2004, và các bài tổng quan về "random packing of non-spherical particles". Với học sinh, đây là đề tài hay cho một dự án khoa học nhỏ: chỉ cần hạt trong bếp, nước và ống đong.
Câu hỏi thường gặp
Hạt dẹt có xếp chặt hơn hạt tròn không?
Có, khi đổ ngẫu nhiên. Thí nghiệm năm 2004 với viên kẹo dẹt đo được khoảng 68% thể tích do hạt chiếm, so với khoảng 64% của bi tròn cùng cách đổ.
Vì sao hạt hình elip xếp chặt hơn?
Hạt elip có thể xoay để lách vào khe, nên cần nhiều điểm tiếp xúc hơn mới bị khoá cứng, khoảng 10 so với khoảng 6 của bi tròn. Các hạt vì thế ép sát nhau hơn trước khi cả khối đứng yên.
Thí nghiệm viên kẹo hình elip do ai thực hiện?
Do nhóm của Aleksandar Donev, Paul Chaikin, Salvatore Torquato, Frank Stillinger và cộng sự, công bố trên tạp chí Science năm 2004. Họ dùng kẹo viên dẹt vì rẻ, đều cỡ và có dạng gần ellipsoid.
Hạt càng dẹt thì càng xếp chặt phải không?
Không. Mật độ tăng khi hạt lệch tròn vừa phải rồi giảm nếu quá dẹt hoặc quá dài, vì hạt dạng đồng xu hay que dễ chống chéo nhau tạo khe hở lớn.
Khối lập phương đổ ngẫu nhiên có xếp kín không?
Không. Lập phương xếp tay thì kín hoàn toàn, nhưng đổ ngẫu nhiên các mặt phẳng chống chéo nhau và để lại nhiều khoảng trống. Hình xếp đều chặt nhất chưa chắc là hình đổ ngẫu nhiên chặt nhất.
