Bài toán hỏi: muốn chứa n hình vuông cạnh 1, cần hình vuông lớn nhỏ nhất cạnh bao nhiêu. Với số chính phương như 4, 9, 16 thì xếp lưới là xong, nhưng với nhiều số khác, cách khít nhất lại có hình vuông xoay nghiêng. Ví dụ 5 hình vuông cần khung cạnh khoảng 2,707, với một hình xoay 45° ở giữa; còn 11 hình vuông thì tính tới nay (2026) vẫn chưa ai chứng minh được cách xếp tốt nhất đã biết thật sự là tốt nhất.
Bài toán xếp hình vuông vào hình vuông phát biểu thế nào?
Cho n viên gạch vuông giống nhau, cạnh 1 đơn vị. Đặt chúng vào trong một khung vuông, không chồng lên nhau, được phép xoay tuỳ ý. Câu hỏi: cạnh khung nhỏ nhất là bao nhiêu? Các nhà toán học ký hiệu con số đó là s(n).
Vài điều hiển nhiên:
- Tổng diện tích n hình vuông là n, nên khung phải có diện tích ít nhất n, tức cạnh ít nhất √n.
- Nếu n là số chính phương k², xếp lưới k × k là khít hoàn toàn, s(n) = k.
- Với n còn lại, luôn có khoảng trống. Câu hỏi là trống ít nhất bao nhiêu.
Bài toán nghe như bài tập lớp sáu, nhưng có những trường hợp mất hàng chục năm mới chứng minh xong, và có trường hợp vẫn đang bỏ ngỏ.
Vì sao 5 hình vuông phải xếp một ô xoay nghiêng?
Thử xếp 5 viên gạch vuông cạnh 1 theo lưới. Khung cạnh 2 chỉ chứa được 4. Muốn thêm viên thứ năm mà vẫn xếp thẳng, phải nới khung lên cạnh 3, phí rất nhiều chỗ (diện tích 9 cho 5 viên).
Cách khéo hơn: đặt 4 viên vào 4 góc khung, chừa giữa một khoảng hẹp hình chữ thập. Viên thứ năm xoay 45°, hình thoi của nó nằm gọn vào khoảng giữa, bốn đỉnh chĩa vào bốn khe. Khung chỉ cần cạnh 2 + √2/2, tức khoảng 2,707.
Vì sao xoay lại có lợi? Một hình vuông xoay 45° có "chiều rộng" theo phương ngang tăng lên tới đường chéo (khoảng 1,414), nhưng nó chỉ chiếm chỗ dày ở giữa và thon dần ra hai đầu. Bốn góc nhọn của nó lọt được vào khe giữa các viên đặt thẳng. Thay vì cần một dải trống rộng trọn 1 đơn vị, ta chỉ cần khe rộng khoảng 0,707.
Năm 1979, Friedrich Göbel chứng minh rằng 2,707 là nhỏ nhất có thể cho 5 hình vuông. Không có cách xếp nào, dù xoay lệch kiểu gì, làm khung nhỏ hơn.
Bảng các kết quả đã biết cho từng số hình vuông
| Số hình vuông n | Cạnh khung nhỏ nhất s(n) (khoảng) | Tình trạng |
|---|---|---|
| 2, 3, 4 | 2 | Hiển nhiên |
| 5 | 2,707 (bằng 2 + √2/2) | Chứng minh, Göbel 1979 |
| 6, 7, 8, 9 | 3 | Đã chứng minh cho 6 (đầu những năm 2000), từ đó suy ra 7 và 8 |
| 10 | 3,707 (bằng 3 + √2/2) | Chứng minh, Walter Stromquist 2003 |
| 11 | khoảng 3,877 | Cách xếp tìm ra từ năm 1979, chưa chứng minh tối ưu |
Hàng 6, 7, 8 có một ý thú vị: bớt đi một hai viên từ 9 viên không làm khung nhỏ lại được. Trực giác nói 8 viên phải vừa khung nhỏ hơn 3 một chút, nhưng chứng minh cho thấy không. Chỗ trống của một viên bị rút ra không gom lại thành dải để thu khung được.
Vì sao 11 hình vuông vẫn còn là bài toán bỏ ngỏ?
Cách xếp 11 hình vuông tốt nhất đã biết được Walter Trump tìm ra năm 1979: nhiều viên xoay lệch một góc lẻ, khoảng 40°, chứ không phải 45° tròn trịa. Về sau có người tinh chỉnh thêm chút ít ở chữ số thập phân thứ năm, thứ sáu, cạnh khung vẫn khoảng 3,877. Hình vẽ của cách xếp này trông khá "lộn xộn", không có đối xứng đẹp nào.
Khó ở chỗ: để chứng minh đây là tốt nhất, phải loại trừ mọi cách đặt 11 viên với mọi góc xoay có thể, tức một không gian vô số khả năng liên tục. Với 5 hay 10 viên, người ta tìm được lập luận khéo để chia trường hợp. Với 11 viên, số tình huống bùng nổ và chưa ai khoá được. Cận dưới đã chứng minh vẫn thấp hơn con số 3,877 một khoảng, và chưa ai thu hẹp được khoảng hở đó.
Những bài toán như vậy hay được trưng trong các bộ sưu tập "bài toán mở dễ phát biểu". Người làm toán nghiệp dư vẫn thỉnh thoảng góp những cách xếp tốt hơn cho các n lớn, ghi lại trong các bảng tổng hợp trực tuyến được cập nhật nhiều năm.
Xoay nghiêng có luôn khít hơn xếp thẳng không?
Không luôn luôn, nhưng thường xuyên hơn người ta nghĩ. Năm 1975, Paul Erdős và Ronald Graham chứng minh một kết quả bất ngờ: khi khung vuông rất lớn và cạnh không phải số nguyên, xếp nghiêng một phần luôn cho phần diện tích bỏ phí nhỏ hơn hẳn so với chỉ xếp thẳng.
Hiểu nôm na thế này. Khung cạnh 100,5 mà xếp thẳng thì chỉ được lưới 100 × 100, dải trống rộng 0,5 chạy dọc hai mép, phí khoảng 100 đơn vị diện tích. Erdős và Graham chỉ ra cách xếp nghiêng những dải gạch gần mép để "nuốt" phần lớn dải trống đó, chỉ còn phí một phần tăng chậm hơn nhiều so với cạnh khung. Các nhà toán học sau đó tiếp tục siết con số này, và vẫn chưa biết chính xác mức phí nhỏ nhất.
Bài học đời thường
Nếu khung chỉ dư một chút so với số nguyên lần cạnh hộp, đừng vội kết luận "không vừa thêm". Xoay nghiêng thử một hai món, nhất là món ở giữa, có thể mở ra chỗ cho thêm một món nữa.
Áp dụng khi xếp hộp vuông vào khay, ngăn kéo thế nào?
Một quy tắc nhớ được ngay rút từ trường hợp 5 hình vuông:
Hộp vuông cạnh a. Khay vuông cạnh từ khoảng 2,71a trở lên (nhưng dưới 3a) thì để được 5 hộp: bốn hộp ở bốn góc, một hộp xoay chéo ở giữa.
Ví dụ hộp cạnh 10 cm, khay cạnh 28 cm. Xếp thẳng chỉ được 4 hộp, chừa dải trống 8 cm hình chữ thập. Đặt 4 hộp sát 4 góc, hộp thứ năm xoay chéo vào giữa: vừa đủ, còn dư chút ít cho dễ nhấc ra. Khay 27 cm thì chưa đủ (cần 27,07 cm), hộp thứ năm sẽ cấn.
Vài lưu ý khi đem toán vào tủ:
- Hộp thật có bo góc, có nắp nhô, nên cần dư thêm chừng nửa phân tới một phân so với con số lý thuyết.
- Hộp xoay chéo khó lấy hơn vì bị kẹp giữa bốn hộp. Dùng chỗ đó cho món ít khi lấy.
- Hộp chữ nhật không theo đúng các con số trên, nhưng ý tưởng "xoay để lọt khe" vẫn đúng. Sách, hộp đĩa xếp trong thùng các tông cũng thế: lớp cuối hay vừa thêm vài cuốn nếu đặt nghiêng hoặc xoay ngang.
- Khi khay đủ lớn để xếp thẳng không dư, cứ xếp thẳng: gọn mắt, dễ lấy, dễ đếm.
Góc nhìn hôm nay: tự tìm cách xếp bằng giấy bìa
Cắt 11 hình vuông cạnh 3 cm từ giấy bìa cứng. Vẽ các khung vuông cạnh 6 cm, 8,2 cm, 9 cm, 11,2 cm, 11,7 cm. Thử nhét 4, 5, 8, 10, 11 hình vuông vào từng khung. Với khung 8,2 cm (gần 2,71 × 3), cố tìm ra cách đặt 5 hình. Với khung 11,7 cm (gần 3,88 × 3), thử xem có xếp nổi 11 hình không. Đây là hoạt động hay cho buổi sinh hoạt câu lạc bộ toán: các em thấy tận tay vì sao xoay lại lời chỗ, và vì sao người lớn vẫn chưa chứng minh xong.
Muốn đọc thêm, tra cụm "packing unit squares in squares": có những bảng tổng hợp hình vẽ cách xếp tốt nhất đã biết cho n tới vài chục, kèm ghi chú trường hợp nào đã chứng minh, trường hợp nào còn mở.
Câu hỏi thường gặp
Xếp 5 hình vuông vào hình vuông nhỏ nhất thì cạnh bao nhiêu?
Cạnh khoảng 2,707 lần cạnh hình vuông nhỏ, bằng 2 + √2/2. Cách xếp là bốn hình ở bốn góc và một hình xoay 45° ở giữa; Göbel chứng minh đây là tối ưu năm 1979.
Vì sao xoay nghiêng hình vuông lại xếp khít hơn?
Hình vuông xoay nghiêng dày ở giữa và thon về các đỉnh, nên các góc của nó lọt được vào khe giữa những hình đặt thẳng. Nhờ vậy khe trống cần thiết hẹp hơn một dải trọn cạnh.
Bài toán xếp 11 hình vuông đã giải xong chưa?
Tính tới 2026, chưa. Cách xếp tốt nhất đã biết cần khung cạnh khoảng 3,877, tìm ra từ năm 1979, nhưng chưa ai chứng minh không có cách nào tốt hơn.
Bớt một hình vuông từ 9 thì khung có nhỏ lại không?
Không. Đã chứng minh 6, 7 và 8 hình vuông đều vẫn cần khung cạnh 3, đúng bằng khung chứa 9 hình.
Hộp vuông 10 cm thì khay bao nhiêu để để được 5 hộp?
Khay vuông cạnh từ khoảng 27,1 cm trở lên, thực tế nên 28 cm để trừ hao bo góc. Đặt bốn hộp ở góc và một hộp xoay chéo ở giữa.
