Lát kín không gian là xếp các khối giống nhau sát vào nhau sao cho không còn một khe hở nào và không khối nào chồng lên khối nào. Khối lập phương, hộp chữ nhật, lăng trụ lục giác làm được điều này; ngoài ra còn những khối ít quen hơn như khối mười hai mặt hình thoi và khối bát diện cụt. Câu hỏi "chia không gian thành những ô cùng thể tích mà tốn ít bề mặt ngăn cách nhất" đã được Kelvin nêu năm 1887, và đến năm 1993 mới có lời đáp tốt hơn: cấu trúc bọt Weaire–Phelan.
Những khối nào xếp chồng được mà không hở?
Trên mặt phẳng, viên gạch vuông, tam giác đều, lục giác đều lát kín sàn nhà. Trong không gian ba chiều, các khối lấp kín được gọi là khối lát kín không gian. Một số loại quen thuộc:
| Khối | Số mặt | Hình các mặt | Gặp ở đâu |
|---|---|---|---|
| Lập phương | 6 | Vuông | Hạt muối ăn kết tinh, xúc xắc, ô kệ vuông |
| Hộp chữ nhật | 6 | Chữ nhật | Viên gạch, thùng các tông, căn phòng |
| Lăng trụ tam giác, lăng trụ lục giác | 5 và 8 | Tam giác hoặc lục giác ở hai đáy, chữ nhật ở thân | Cột đá bazan, bút chì lục giác xếp bó |
| Khối mười hai mặt hình thoi | 12 | Hình thoi | Tinh thể ngọc hồng lựu |
| Khối bát diện cụt | 14 | 6 vuông, 8 lục giác | Mô hình bọt, cấu trúc một số vật liệu |
Quy luật dễ thấy cho lăng trụ: hình nào lát kín được mặt phẳng thì "kéo dài" nó lên thành lăng trụ là lát kín được không gian, chỉ cần xếp chồng từng tầng. Vì thế mọi viên gạch lát sàn, nếu đủ dày, đều xếp thành khối không hở.
Năm khối "chỉ cần dịch chuyển"
Năm 1885, nhà tinh thể học Nga Evgraf Fedorov chứng minh chỉ có đúng năm loại khối lồi lát kín không gian mà các khối chỉ việc dịch song song, không cần xoay hay lật: khối hộp (gồm cả lập phương), lăng trụ lục giác, khối mười hai mặt hình thoi, khối mười hai mặt kéo dài, và khối bát diện cụt. Năm khối này là nền tảng của ngành tinh thể học, vì tinh thể chính là các nguyên tử lặp lại bằng phép dịch.
Vì sao khối tứ diện đều không lát kín được?
Trong các khối đa diện đều (khối Platon), chỉ có lập phương tự mình lấp kín không gian. Khối tứ diện đều, bốn mặt tam giác đều, trông có vẻ phải ghép được, nhưng không.
Lý do nằm ở góc giữa hai mặt (góc nhị diện). Muốn nhiều khối quây kín quanh một cạnh chung, tổng các góc nhị diện phải đúng 360°. Góc nhị diện của lập phương là 90°, bốn khối quây quanh một cạnh: 4 × 90° = 360°, khít. Góc nhị diện của tứ diện đều là khoảng 70,53°. Năm khối được khoảng 352,6°, thiếu chừng 7,4°; sáu khối thì thừa. Không bao giờ khít.
Chuyện này có một giai thoại đáng nhớ: Aristotle từng khẳng định tứ diện đều lấp kín được không gian. Nhận định sai ấy được lặp lại trong các sách bình giải suốt nhiều thế kỷ, tới khoảng thế kỷ 15 mới có người chỉ ra là sai. Một ví dụ cho thấy trực giác hình học ba chiều dễ đánh lừa thế nào.
Tứ diện đều vẫn lấp được không gian nếu đi cùng bạn: cứ một khối bát diện đều ghép với hai khối tứ diện đều, ta có một cách lát kín. Nhiều khung giàn thép mái nhà xưởng, sân vận động dùng chính cấu trúc tam giác – tứ diện này vì rất cứng.
Bài toán Kelvin hỏi điều gì?
Năm 1887, nhà vật lý William Thomson (Huân tước Kelvin) đặt câu hỏi: nếu chia không gian thành những ô cùng thể tích, cách chia nào có tổng diện tích vách ngăn nhỏ nhất? Đây là câu hỏi về bọt: màng xà phòng luôn co lại để có diện tích nhỏ nhất, nên bọt tự nhiên "tìm" lời giải.
Kelvin đề xuất khối bát diện cụt với các mặt hơi cong. Suốt hơn một thế kỷ, không ai tìm được cách tốt hơn, và nhiều người tin đó là đáp án.
Bọt Weaire–Phelan (1993)
Năm 1993, hai nhà vật lý Denis Weaire và Robert Phelan ở Trinity College Dublin dùng mô phỏng máy tính tìm ra một cấu trúc tốt hơn. Thay vì một loại ô, họ dùng hai loại ô cùng thể tích:
- Khối mười hai mặt không đều, các mặt là ngũ giác.
- Khối mười bốn mặt, gồm hai mặt lục giác và mười hai mặt ngũ giác.
Mỗi đơn vị lặp lại gồm 8 ô: 2 ô loại thứ nhất và 6 ô loại thứ hai. Tổng diện tích vách nhỏ hơn cấu trúc Kelvin khoảng 0,3%. Con số trông nhỏ, nhưng đủ lật đổ một giả thuyết đứng vững hơn trăm năm. Tới nay vẫn chưa có chứng minh Weaire–Phelan là tốt nhất; có thể còn cấu trúc tốt hơn chưa ai tìm ra.
Cấu trúc này nổi tiếng với công chúng khi được dùng làm ý tưởng cho lớp vỏ của Trung tâm Thể thao dưới nước Quốc gia Bắc Kinh, xây cho Thế vận hội 2008: những ô bong bóng nhiều cạnh phủ khắp mặt ngoài toà nhà.
Bọt xà phòng chia không gian theo luật nào?
Nhà vật lý Bỉ Joseph Plateau quan sát bọt xà phòng kỹ lưỡng và công bố năm 1873 các quy luật mang tên ông:
- Màng xà phòng luôn gặp nhau ba màng một dọc theo một đường, và ba màng tạo với nhau những góc bằng nhau, đều 120°.
- Các đường gặp nhau ấy lại gặp nhau bốn đường một tại một điểm, với góc khoảng 109,47° giữa từng cặp.
- Mỗi màng có độ cong đều ở mọi chỗ (khác nhau giữa các màng tuỳ chênh lệch áp suất hai bên).
Không bao giờ thấy bốn màng gặp nhau dọc một đường hay sáu đường gặp nhau tại một điểm trong bọt ổn định: những cấu hình đó sẽ tự tách ra ngay. Lý do vẫn là tiết kiệm diện tích: cấu hình nào giảm được diện tích màng, bọt sẽ chuyển sang đó.
Một điều thú vị: góc 109,47° cũng là góc giữa các liên kết trong phân tử mê-tan, và là góc tại tâm khối tứ diện đều. Hình học tiết kiệm chỗ lặp lại ở những nơi tưởng như không liên quan.
Lát kín không gian có ích gì trong đời sống?
Gạch, khối xây, khối kệ
Viên gạch hình hộp là ví dụ hàng ngày. Xếp kín được nghĩa là tường đặc chắc, ít vữa, dễ tính số lượng. Ô kệ vuông ghép module, hộp lưu trữ cùng cỡ xếp chồng cũng tận dụng tính chất lát kín: không có khe chết giữa các khối.
Vì sao phòng, hộp, thùng hầu hết là hình hộp
Khối mười hai mặt hình thoi hay bát diện cụt lát kín rất đẹp, nhưng ít khi làm thùng chứa. Hình hộp có lợi thế lớn: các mặt phẳng song song, sàn bằng, góc vuông dễ đo, dễ cắt vật liệu, dễ đặt đồ phẳng vào. Hình lát kín đẹp về toán chưa chắc thuận về sản xuất và sử dụng.
Vật liệu nhẹ và cứng
Bọt kim loại, bọt nhựa, lõi rỗng bên trong vật liệu nhẹ đều là những cấu trúc chia không gian thành ô. Hiểu bài toán Kelvin giúp kỹ sư thiết kế các lõi ít vật liệu mà vẫn bền. Máy in 3D ngày nay hay dùng các mẫu ô lặp lại kiểu này để làm phần ruột vật thể nhẹ hơn.
Khay đá, khuôn bánh
Khay đá viên vuông, khuôn bánh lục giác chia một khối thành nhiều ô cùng cỡ mà không phí vách: đây là lát kín mặt phẳng kéo dài thành lăng trụ.
Góc nhìn hôm nay: tự dựng mô hình lát kín
Một cách dễ để "thấy" khối mười hai mặt hình thoi: lấy một khối lập phương, tưởng tượng gắn lên mỗi mặt một hình chóp bằng đúng sáu phần một lập phương (chóp có đỉnh là tâm của khối lập phương kế bên). Kết quả là khối mười hai mặt hình thoi, có thể tích gấp đôi lập phương ban đầu. Xếp các lập phương kiểu bàn cờ ba chiều, ô đen giữ lại, ô trắng chia sáu cho hàng xóm, ta được cách lát kín không gian bằng khối mười hai mặt hình thoi.
Với học sinh, có thể in mẫu khai triển trên giấy bìa, gấp khoảng tám khối bát diện cụt và thử ghép: các mặt vuông áp vào nhau, các mặt lục giác áp vào nhau, không hở. Với người thích bọt, thổi bọt xà phòng giữa hai tấm kính hoặc nhúng khung dây hình lập phương vào nước xà phòng để thấy luật Plateau hiện ra trước mắt. Chuyện tổ ong lục giác và lát kín mặt phẳng là đề tài riêng, nằm ở chỗ khác.
Câu hỏi thường gặp
Khối nào lát kín không gian được?
Lập phương, hộp chữ nhật, mọi lăng trụ có đáy lát kín mặt phẳng (tam giác, lục giác…), khối mười hai mặt hình thoi và khối bát diện cụt là những ví dụ tiêu biểu.
Khối tứ diện đều có xếp kín không gian được không?
Không. Góc nhị diện của nó khoảng 70,53°, không chia hết 360° nên các khối quây quanh một cạnh luôn hở hoặc chồng. Ghép một bát diện đều với hai tứ diện đều thì lấp kín được.
Bài toán Kelvin là gì?
Là bài toán chia không gian thành các ô cùng thể tích sao cho tổng diện tích vách ngăn nhỏ nhất. Kelvin đề xuất khối bát diện cụt năm 1887; năm 1993 Weaire và Phelan tìm ra cấu trúc tốt hơn khoảng 0,3%.
Bọt Weaire–Phelan được dùng ở đâu?
Nổi tiếng nhất là làm ý tưởng cho lớp vỏ của Trung tâm Thể thao dưới nước Quốc gia Bắc Kinh, xây cho Thế vận hội 2008. Nó cũng được nghiên cứu trong vật liệu bọt và cấu trúc nhẹ.
Màng bọt xà phòng gặp nhau theo góc bao nhiêu?
Ba màng gặp nhau dọc một đường với góc 120°, và bốn đường như vậy gặp nhau tại một điểm với góc khoảng 109,47°. Đây là các luật Plateau, công bố năm 1873.
