Cây dài nhất bỏ vừa một thùng hình hộp là cây nằm theo đường chéo không gian, nối góc dưới trong cùng với góc trên đối diện. Độ dài đường chéo bằng căn bậc hai của (dài² + rộng² + cao²), luôn dài hơn mọi cạnh. Ví dụ thùng 60 × 40 × 30 cm có cạnh dài nhất 60 cm nhưng đường chéo khoảng 78 cm; một thùng lập phương thì đường chéo dài hơn cạnh tới khoảng 73%.
Đường chéo không gian của hộp tính thế nào?
Định lý Pythagore quen thuộc trên mặt phẳng nói: tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b thì cạnh huyền bằng √(a² + b²). Trong hộp, ta dùng định lý này hai lần:
- Trên mặt đáy, đường chéo đáy dài √(dài² + rộng²).
- Đường chéo đáy và chiều cao lại vuông góc nhau, tạo một tam giác vuông đứng. Cạnh huyền của tam giác này chính là đường chéo không gian: √(dài² + rộng² + cao²).
Ví dụ thùng xốp 60 × 40 × 30 cm:
- Đường chéo đáy: √(3.600 + 1.600) = √5.200, khoảng 72,1 cm.
- Đường chéo không gian: √(3.600 + 1.600 + 900) = √6.100, khoảng 78,1 cm.
Nghĩa là một cây thước dài 75 cm không nằm ngang được trong thùng (vì 75 lớn hơn 60), cũng không nằm chéo trên đáy (vì 75 lớn hơn 72), nhưng dựng chéo từ góc này sang góc kia thì vừa.
Đường chéo dài hơn cạnh bao nhiêu với từng dáng hộp?
Phần "lời" từ đường chéo phụ thuộc rất nhiều vào dáng hộp. Hộp càng vuông vức, lời càng nhiều; hộp càng dài và dẹt, lời càng ít.
| Dáng hộp (cm) | Cạnh dài nhất | Đường chéo không gian (khoảng) | Dài hơn cạnh dài nhất |
|---|---|---|---|
| Lập phương 50 × 50 × 50 | 50 | 86,6 | khoảng 73% |
| Thùng xốp 60 × 40 × 30 | 60 | 78,1 | khoảng 30% |
| Cốp xe ước chừng 100 × 90 × 50 | 100 | 143,5 | khoảng 43% |
| Hộp dài 100 × 20 × 20 | 100 | 103,9 | khoảng 4% |
| Hộp rất thuôn 100 × 10 × 10 | 100 | 101,0 | khoảng 1% |
Với lập phương cạnh a, đường chéo luôn bằng a × √3, khoảng 1,732a. Với hộp dài và hẹp như hộp đựng thước, đường chéo gần như bằng chiều dài: đừng trông chờ đặt chéo để nhét thêm.
Mấy bộ số tròn đẹp
Có những kích thước cho đường chéo đúng số nguyên, dễ nhẩm, dễ kiểm bằng thước:
- 20 × 30 × 60 cm: đường chéo đúng 70 cm (vì 400 + 900 + 3.600 = 4.900).
- 40 × 40 × 70 cm: đúng 90 cm.
- 20 × 60 × 90 cm: đúng 110 cm.
- 60 × 60 × 70 cm: đúng 110 cm.
Các bộ số này là "bộ bốn Pythagore", phiên bản ba chiều của bộ ba 3 – 4 – 5 quen thuộc.
Thanh có bề dày thì có vừa đúng bằng đường chéo không?
Không. Đường chéo là chiều dài của một đoạn thẳng mảnh như sợi chỉ. Một thanh thật có bề dày: đầu thanh không thể chui tận vào góc nhọn của thùng, vì ba mặt thùng gặp nhau ở góc chặn mép thanh lại. Kết quả là chiều dài lọt được luôn ngắn hơn đường chéo, thanh càng to, càng hụt nhiều.
Một vài trường hợp hay gặp:
- Ống nhựa, cán chổi, cần câu mảnh: hụt ít, có thể tính gần bằng đường chéo, chừa vài phân cho an toàn.
- Cây gỗ vuông, thanh nhôm hộp: hụt nhiều hơn; xoay để cạnh thanh nằm theo hướng góc thùng đôi khi lọt thêm chút ít.
- Vật có đầu to như ô có tay cầm cong, gậy có núm, cây đàn: tính phần đầu to riêng. Thường phải đặt đầu to ở góc rộng nhất, không phải tận trong góc.
- Thanh dài và hộp nặng cùng chỗ: thanh nằm chéo xuyên qua thùng sẽ chắn chỗ đặt hộp. Đặt thanh trước, xếp hộp sau, hay ngược lại, cần tính trước.
Tự đo đường chéo của cốp xe, thùng, tủ bằng dây thế nào?
Không cần công thức. Một sợi dây không giãn và một cây thước dây là đủ:
- Chặn một đầu dây vào góc dưới, trong cùng của khoang chứa, ví dụ góc sàn cốp sát lưng ghế bên trái.
- Kéo căng dây tới góc trên đối diện: sát nắp cốp, phía gần miệng, bên phải.
- Đánh dấu chỗ dây chạm góc, rút ra đo bằng thước. Đó là chiều dài tối đa lý thuyết.
- Thử cả bốn cặp góc đối nhau. Khoang thật không phải hộp đều: cốp có hốc bánh xe, gờ, nắp vát, nên mỗi đường chéo dài ngắn khác nhau.
Mẹo: làm việc này trước khi mua đồ dài như cây lau nhà, thanh treo rèm, kệ tháo rời. Một sợi dây cắt sẵn đúng độ dài món đồ, mang theo khi đi xem xe hoặc đo tủ, trả lời nhanh câu hỏi "có vừa không".
Lưu ý khi chở đồ dài trong xe
Đồ dài nằm chéo trong xe phải được chèn, buộc chắc. Khi phanh gấp, vật dài, cứng có thể trượt mạnh về phía trước. Không để đầu thanh chĩa vào chỗ người ngồi; nếu gập ghế sau để lấy chiều dài, chỗ đó không chở người.
Đường chéo của mặt phẳng dùng vào việc gì quanh nhà?
Đường chéo hai chiều (của một mặt chữ nhật) cũng hữu ích không kém:
| Tình huống | Đường chéo cần biết | Ví dụ |
|---|---|---|
| Đưa tấm ván, tấm kính rộng qua cửa | Đường chéo khung cửa | Cửa 0,8 × 2,0 m có đường chéo khoảng 2,15 m; tấm rộng 2,1 m nghiêng chéo thì lọt |
| Dựng tủ cao nằm dưới đất lên | Đường chéo mặt bên tủ | Tủ cao 2,2 m, sâu 0,6 m có đường chéo khoảng 2,28 m; trần phải cao hơn số này mới dựng được |
| Kiểm khung vuông góc | Hai đường chéo phải bằng nhau | Đóng kệ, lát gạch, căng dây móng nhà |
| Màn hình | Kích thước ghi theo đường chéo | Cùng "số inch", màn rộng dài và màn vuông có diện tích khác nhau |
Hàng thứ hai là lỗi rất hay gặp: tủ cao gần sát trần, lắp nằm dưới sàn rồi dựng lên thì kẹt vì góc tủ quét theo đường chéo, dài hơn chiều cao. Thợ lắp tủ kịch trần thường lắp tại chỗ hoặc chừa khe cho lý do này.
Hàng thứ ba là mẹo thợ xây xưa nay: đo hai đường chéo của một khung chữ nhật; bằng nhau là khung vuông góc, lệch là khung bị xô.
Góc nhìn hôm nay: một phép đo đáng mang về
Nếu chỉ nhớ một điều, hãy nhớ: đồ dài hơn cạnh thùng chưa chắc là không vừa. Trước khi bỏ cuộc, đo đường chéo không gian; trước khi mua đồ dài, đo bằng sợi dây. Ngược lại, đừng tin đường chéo một cách tuyệt đối: thanh có bề dày, khoang có gờ, nên luôn chừa dư.
Với học sinh, đây là bài ứng dụng rất trực quan của định lý Pythagore trong không gian, học ở lớp 8 và ôn lại ở hình học không gian lớp 11. Một hoạt động hay: mỗi em mang một hộp giấy tới lớp, đo ba cạnh, tính đường chéo, rồi thử nhét một que tre cắt đúng độ dài tính được để kiểm.
Câu hỏi thường gặp
Công thức đường chéo của hình hộp chữ nhật là gì?
Đường chéo không gian bằng căn bậc hai của (dài² + rộng² + cao²). Ví dụ hộp 60 × 40 × 30 cm có đường chéo khoảng 78,1 cm.
Thanh dài hơn cạnh thùng có bỏ vừa thùng không?
Có thể, nếu đặt theo đường chéo không gian và thanh đủ mảnh. Thanh càng dày thì chiều dài lọt được càng ngắn hơn đường chéo, nên luôn chừa dư vài phân.
Đường chéo hình lập phương dài gấp bao nhiêu lần cạnh?
Gấp √3 lần, khoảng 1,732 lần. Lập phương cạnh 50 cm có đường chéo không gian khoảng 86,6 cm.
Làm sao đo cốp xe chở được đồ dài bao nhiêu?
Căng một sợi dây không giãn từ góc dưới trong cùng tới góc trên đối diện rồi đo dây. Thử cả bốn cặp góc vì cốp có hốc bánh xe và gờ nên mỗi đường chéo khác nhau.
Vì sao dựng tủ cao lên lại bị kẹt trần?
Khi dựng từ tư thế nằm, góc tủ quét theo đường chéo mặt bên, dài hơn chiều cao tủ. Trần phải cao hơn đường chéo này thì mới dựng lên được.
