Bài toán chiếc sofa hỏi: một hành lang rộng 1 đơn vị rẽ vuông góc, vật phẳng có diện tích lớn nhất bao nhiêu thì đẩy lượn qua góc được. Leo Moser nêu bài toán năm 1966. Hình tốt nhất đã biết là "sofa Gerver" (1992), diện tích khoảng 2,2195. Năm 2024, Jineon Baek công bố một chứng minh dài hơn trăm trang rằng hình của Gerver là tối ưu; chứng minh này được giới toán đánh giá nghiêm túc và đang được thẩm định.
Bài toán chiếc sofa phát biểu thế nào?
Hãy hình dung một hành lang hình chữ L, cả hai nhánh cùng rộng 1 mét, gặp nhau ở góc vuông. Ta có một "chiếc sofa" là hình phẳng cứng, chỉ được trượt và xoay trên sàn, không được nhấc lên hay nghiêng. Hỏi: diện tích lớn nhất của hình có thể đi từ nhánh này sang nhánh kia là bao nhiêu?
Chữ "sofa" chỉ là cách gọi cho vui. Bài toán thuộc hình học thuần tuý, nhưng ai từng khiêng một bộ ghế dài qua góc cầu thang đều hiểu cảm giác đứng nghĩ "xoay kiểu nào cho lọt".
Vài mốc khởi đầu dễ thấy:
- Một hình vuông cạnh 1 (diện tích 1) đi qua dễ dàng: đẩy tới góc rồi đẩy sang nhánh kia, không cần xoay.
- Một nửa hình tròn bán kính 1 (diện tích π/2, khoảng 1,571) cũng đi qua: đẩy tới góc, xoay quanh tâm đúng 90°, rồi đẩy đi.
- Câu hỏi là có thể to hơn bao nhiêu nữa.
Sofa Hammersley và sofa Gerver khác nhau ra sao?
Sofa Hammersley (1968)
John Hammersley có ý tưởng: cắt đôi nửa hình tròn, kéo hai phần tư hình tròn ra xa nhau, chèn vào giữa một khối chữ nhật, rồi khoét một lỗ hình bán nguyệt ở cạnh trong để khối này "ôm" được góc tường khi xoay. Hình thu được trông giống chiếc điện thoại bàn kiểu cũ. Diện tích là π/2 + 2/π, khoảng 2,2074. Hammersley cũng chứng minh không hình nào vượt quá 2√2, khoảng 2,83.
Sofa Gerver (1992)
Joseph Gerver tinh chỉnh hình của Hammersley: thay các cung tròn bằng những đường cong được tính toán sao cho tại mọi thời điểm khi xoay, chiếc sofa chạm tường theo cách "chặt" nhất. Biên của hình gồm 18 đoạn ghép lại, có đoạn thẳng, có cung tròn, có đường cong phức tạp hơn. Diện tích tăng lên khoảng 2,2195, chỉ hơn Hammersley chừng 0,5%, nhưng Gerver chứng minh hình của mình thoả mọi điều kiện cần của một lời giải tối ưu, và đoán rằng nó chính là đáp án.
| Hình | Năm | Diện tích (khoảng) | Ghi chú |
|---|---|---|---|
| Hình vuông cạnh 1 | — | 1 | Không cần xoay |
| Nửa hình tròn bán kính 1 | — | 1,571 | Xoay quanh góc tường |
| Sofa Hammersley | 1968 | 2,2074 | Có lỗ khoét bán nguyệt |
| Sofa Gerver | 1992 | 2,2195 | Biên gồm 18 đoạn |
| Cận trên Hammersley | 1968 | 2,8284 | Không hình nào vượt mức này |
| Cận trên Kallus–Romik | 2018 | 2,37 | Hạ cận trên nhờ máy tính hỗ trợ chứng minh |
Lời giải năm 2024 của Jineon Baek nói gì?
Cuối năm 2024, nhà toán học Hàn Quốc Jineon Baek đăng lên kho bài báo mở arXiv một bản thảo dài hơn trăm trang, lập luận rằng sofa Gerver đúng là hình có diện tích lớn nhất. Nếu đúng, bài toán treo gần 60 năm đã khép lại, và con số 2,2195 là đáp án.
Điểm đáng chú ý là chứng minh chủ yếu dựa vào lập luận toán học thay vì để máy tính kiểm hàng triệu trường hợp. Nhiều chuyên gia trong lĩnh vực đánh giá đây là công trình nghiêm túc. Tuy nhiên, với một chứng minh dài và mới như vậy, quy trình bình duyệt của tạp chí toán học thường kéo dài nhiều năm. Cách nói thận trọng là: lời giải đang được giới toán thẩm định, chưa nên coi là chốt hẳn cho tới khi có công bố chính thức qua bình duyệt.
Còn các biến thể khác
Bài toán có họ hàng: sofa phải rẽ được cả trái lẫn phải (hành lang có hai kiểu góc). Dan Romik tìm ra hình tốt nhất đã biết cho trường hợp này, diện tích khoảng 1,645, trông như một hình bầu dục có hai rãnh khoét. Trường hợp này cũng chưa có chứng minh tối ưu.
Đem bài toán vào đời thật: đồ dài qua góc hành lang thế nào?
Bài toán toán học xét hình phẳng có diện tích lớn nhất. Đời thật thì ta có một món đồ cụ thể và hỏi: nó có lọt không. Có hai công thức đơn giản đáng nhớ.
Thanh mảnh dài nhất nằm ngang qua góc
Một thanh rất mảnh (ống nước, thanh nẹp) nằm ngang, qua góc giữa hai hành lang rộng a và b. Chiều dài lớn nhất là:
L = (a2/3 + b2/3)3/2
Hai hành lang cùng rộng 1 m: L khoảng 2,83 m. Một bên 1,2 m, một bên 0,9 m: L khoảng 2,96 m.
Nếu được nghiêng thanh lên theo chiều cao trần h, chiều dài tối đa tăng thành căn bậc hai của (L² + h²). Trần 2,8 m, hai hành lang 1 m: khoảng 3,98 m. Đây là lý do khiêng thanh dài qua góc thì nâng một đầu lên cao.
Vật hình hộp có bề dày
Sofa thật có độ sâu w (khoảng cách từ lưng ghế tới mép trước), không mảnh như que. Với hai hành lang cùng rộng a, vật hình chữ nhật đặt nằm, độ sâu w, chiều dài tối đa qua góc khoảng:
L = 2 × (1,414 × a − w)
Ví dụ hành lang 1 m, sofa sâu 0,85 m: L chỉ khoảng 1,13 m. Một bộ sofa dài 2 m đặt nằm sẽ không bao giờ qua được góc này, dù xoay khéo cỡ nào.
Dựng đứng: mẹo của thợ khiêng đồ
Khi dựng sofa đứng lên theo chiều dài, "dấu chân" trên sàn chỉ còn là độ sâu nhân chiều cao, ví dụ 0,85 m × 0,8 m. Áp lại công thức với w = 0,8: chiều dài cho phép khoảng 1,23 m, lớn hơn 0,85 m, nên lọt. Điều kiện là trần đủ cao để dựng (cao hơn chiều dài sofa) và không có đèn, quạt trần vướng. Đây chính là bài toán sofa ba chiều mà dân khiêng đồ giải bằng kinh nghiệm.
Đo gì trước khi mua đồ dài cho nhà ống, căn hộ?
| Cần đo | Vì sao |
|---|---|
| Bề rộng thông thuỷ của cửa, hành lang, chiếu nghỉ cầu thang | Đo chỗ hẹp nhất, sau khi trừ tay vịn, nẹp cửa |
| Chiều cao trần ở góc rẽ, chiều cao dưới dầm cầu thang | Quyết định có dựng đứng hay nghiêng được không |
| Độ sâu, chiều cao, chiều dài của món đồ | Độ sâu thường là số quyết định, không phải chiều dài |
| Đường chéo của món đồ nhìn từ cạnh bên | Nghiêng món đồ qua khung cửa cần đường chéo này nhỏ hơn chiều cao khung |
| Chân, tay ghế có tháo được không | Tháo chân thường giảm vài phân chiều cao, đủ để lọt |
An toàn khi khiêng: luôn có người đỡ đầu dưới cầu thang, dựng đứng thì giữ chắc không để đổ, và dọn sạch lối đi trước khi nhấc.
Góc nhìn hôm nay: tự thử bài toán sofa trên giấy
Vẽ hành lang chữ L rộng 5 cm trên tờ giấy lớn. Cắt từ bìa cứng: một hình vuông cạnh 5 cm, một nửa hình tròn bán kính 5 cm, và thử phác hình Hammersley (hai phần tư hình tròn bán kính 5 cm, khối giữa rộng khoảng 6,4 cm, lỗ khoét bán kính khoảng 3,2 cm). Đẩy từng hình qua góc. Cảm giác "vừa khít mà vẫn lọt" của hình Hammersley rất đáng trải nghiệm.
Muốn đọc thêm: trang của Dan Romik về bài toán sofa có hình động minh hoạ; bản thảo của Jineon Baek trên arXiv (tìm "optimality of Gerver's sofa"); các bài phổ biến khoa học trên tạp chí Quanta viết về lời giải năm 2024.
Câu hỏi thường gặp
Bài toán chiếc sofa là gì?
Đó là bài toán tìm hình phẳng có diện tích lớn nhất có thể trượt và xoay qua góc vuông của hành lang rộng 1 đơn vị. Leo Moser nêu năm 1966.
Sofa Gerver có diện tích bao nhiêu?
Khoảng 2,2195 đơn vị diện tích, với biên gồm 18 đoạn ghép lại. Joseph Gerver tìm ra năm 1992 và đoán đây là đáp án tối ưu.
Bài toán sofa đã được giải chưa?
Năm 2024, Jineon Baek công bố chứng minh rằng sofa Gerver là tối ưu. Chứng minh dài hơn trăm trang, được đánh giá nghiêm túc và đang được giới toán thẩm định.
Sofa dài 2 m có qua được góc hành lang 1 m không?
Nếu đặt nằm và sâu khoảng 0,85 m thì không, vì vật hình hộp chỉ dài được khoảng 1,13 m. Dựng đứng sofa lên thì thường qua được nếu trần đủ cao.
Thanh dài nhất qua góc hai hành lang rộng 1 m là bao nhiêu?
Thanh mảnh nằm ngang dài tối đa khoảng 2,83 m. Nếu nghiêng lên theo trần cao 2,8 m thì tối đa khoảng 3,98 m.
